Question

12．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）≤0，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{c}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）≥1，只需求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$|²最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）≤0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+${\overrightarrow{c}}^{2}$≤0，
∴$\overrightarrow{c}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）≥1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$|²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）²+（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）²+2（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=4-2$\overrightarrow{c}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+2[-（$\overrightarrow{c}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+1]=6-4$\overrightarrow{c}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）≤6-4=2，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$|的最大值$\sqrt{2}$
故选：B

点评 本题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力，属中档题．