题目内容
19．在△ABC中$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}$，则下列推导正确的是②③④⑤①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，则△ABC是钝角三角形；
②若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，则△ABC是直角三角形；
③若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，则△ABC为等腰三角形；
④若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|，则△ABC为直角三角形；
⑤若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，则△ABC是正三角形．
分析 由向量的数量积的定义和夹角，即可判断①；
运用向量垂直的条件，即可判断②；
运用向量的加减运算和数量积的性质，即可判断③；
运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，即可判断④；
由③的结论，即可判断⑤．
解答 解：对于①，若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，即有$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$＞0，则cosC＞0，C为锐角，故①错；
对于②，若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即有$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，则cosC=0，C为直角，故②对；
对于③，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，即有$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，即为-（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，即有|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，故③对；
对于④，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|，即为|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|，两边平方可得$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，即有$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，故④对；
对于⑤，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，由③可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{c}$|，同理由$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，即有△ABC为正三角形，故⑤对．
故答案为：②③④⑤．
点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的加减运算和数量积的性质，向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，属于中档题和易错题．
如图所示，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C，使|BC|=t|OB|（t＞0），连接AC交BE于D，