Question

16．已知f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R）
（Ⅰ）已知f（x）在R上存在唯一一个零点1，求a和b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在区间[0，1]上存在两个零点，证明：a+|b|＞3．

Answer 1

分析 （I）令判别式等于零，且f（1）=0，列方程解出；
（II）根据零点范围列出方程组，得出a，b的关系，利用不等式的性质求出a，b的范围．

解答 解：（I）∵f（x）在R上存在唯一一个零点1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{{b}^{2}-4a=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-2．
（II）∵f（x）在区间[0，1]上存在两个零点，a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\\{△＞0}\\{0＜-\frac{b}{2a}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1≥0}\\{{b}^{2}-4a＞0}\\{0＜-\frac{b}{2a}＜1}\end{array}\right.$，
由0$＜-\frac{b}{2a}＜1$得-2a＜b＜0，∴b²＜4a²．
由b²-4a＞0得b²＞4a，
∴4a＜4a²，解得a＞1．
∴b²＞4a＞4，
又b＜0，∴b＜-2．即|b|＞2．
∴a+|b|＞3．

点评 本题考查了函数的零点，二次函数的性质，不等式的性质，属于中档题．