Question

11．已知数列{a_n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，则数列{b_n}的前32项的和为$\frac{2}{15}$．

Answer 1

分析 通过等差数列{a_n}的首项和公差可知a_n=3n+1，利用平方差公式、裂项可知b_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：∵数列{a_n}是首项为4、公差为3的等差数列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1，
∵b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}（\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}）}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$），
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$），
故所求值为$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{3×32+4}}$）=$\frac{2}{15}$，
故答案为：$\frac{2}{15}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，涉及平方差公式、裂项相消法等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．