Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+c=$\sqrt{2}$b．
（I）求证：B≤$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）若△ABC的面积为S，且S=tanB，b=2$\sqrt{3}$时，求S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a+c=$\sqrt{2}$b，两边平方化简，根据基本不等式的关系得b²≥2ac，根据余弦定理求得cosB≥0，即可得到B≤$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）S=tanB，根据三角形面积公式求得accosB=2，余弦定理可求得ac=4，即可求得cosB及tanB，可求得S．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$\sqrt{2}$b=a+c，
两边平方得：a²+c²+2ac=2b²，
∴b²≥2ac，当且仅当a=c时成立，
由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{b}^{2}-2ac}{2ac}$≥0，
∴B≤$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）S=$\frac{1}{2}$acsinB=tanB，
accosB=2，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{b}^{2}-2ac}{2ac}$，
$\frac{2}{ac}$=$\frac{12-2ac}{2ac}$，
ac=4
∴cosB=$\frac{1}{2}$，sin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
tanB=$\sqrt{3}$．
∴S=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦余弦定理与基本不等式相结合，计算过程简单，思路明确，属于中档题．