题目内容
1．在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点（x，y），若x，y都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线．现有如下几个命题：①如果k，b都是无理数，那么直线y=kx+b一定是遗憾直线；
②“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k，b都是有理数”；
③存在恰有一个完美点的完美直线；
④完美直线l经过无穷多个完美点，当且仅当直线l经过两个不同的完美点．
其中正确的命题是（ ）
| A． | ②③ | B． | ②③④ | C． | ①③④ | D． | ③④ |
分析 ①②③可利用特殊法求解：如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$等；
④也可特殊处理使直线过原点，再证明即可．
解答 解：①②：如果k，b都是无理数，如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$，显然过（1，0），是完美直线，故①②错误；
③设直线方程为y=$\sqrt{2}$x，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；
④设y=kx为过原点的完美直线，若此直线过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入完美直线的方程得y1=kx1，y2=kx2，
两式相减得y1-y2=k（x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在完美直线y=kx上，且（x1-x2，y1-y2）也为完美点，通过这种方法得到直线经过无穷多个完美点，所以④正确．
故答案为D．
点评 本题考查了新定义类型的题型，难点是对定义的认识和理解．
练习册系列答案
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11．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：
（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．
参考公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．
| 年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
| 居民生活用水量（万吨） | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．
参考公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．
13．抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a（a＞0），n=|MF|+|NF|，则2a-n等于（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 5 |
11．已知直线l的一般方程式为x+y+1=0，则l的一个方向向量为（ ）
| A． | （1，1） | B． | （1，-1） | C． | （1，2） | D． | （1，-2） |