Question

从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品，对其使用寿命进行实验检测，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是合格品．

寿命（天）	频数	频率
[100，200）	20	a
[200，300）	30	0.15
[300，400）	b	0.35
[400，500）	30	0.15
[500，600）	50	0.25
合计	200	1

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）从灯泡样品中随机地取n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）从这200个样品中按三个等级分层抽样抽取8个灯泡，再从这8个中抽取2个进行检测，求这2个灯泡中恰好一个是合格品一个是次品的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布表

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布表，得频率之和为1，频数之和为200，由此能求出a和b．
（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．由此按分层抽样法，能求出n的最小值．
（Ⅲ）计算分层抽样的抽取比例，可得每组抽取个数；利用列举法写出从8个中随机抽取2个的所有基本事件，分别计算总个数与2个灯泡中恰好一个是合格品一个是次品的个数，根据古典概型概率公式计算．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布表，得：
a=1-0.15-0.35-0.15-0.25=0.1．
b=200-20-30-30-50=70．
（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，
∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．
∴按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N^*），
∴n的最小值为4．
（Ⅲ）利用分层抽样在200个样品中抽取8个灯泡，每个等级抽取的个数分别为：
一等品的个数为8×

50

200

=2，合格品的个数为8×

100

200

=4，次品的个数为8×

50

200

=2，
所以从一等品、合格品、次品分别抽取2个，4个，2个．  
设一等品的2个为A、B，合格品的4个为C₁、C₂、C₃、C₄，次品的2个为D、E，
则从8个灯泡中随机抽取2个有：（A，B），（A，C₁），（A，C₂），（A，C₃），
（A，C₄），（A，D），（A，E），（B，C₁），（B，C₂），（B，C₃），（B，C₄），
（B，D），（B，E），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，C₄），（C₁，D），
（C₁，E），（C₂，C₃），（C₂，C₄），（C₂，D），（C₂，E），（C₃，C₄），
（C₃，D），（C₃，E），（C₄，D），（C₄，E），（D，E），共28种可能． 
其中恰好一个是合格品一个是次品的有：（C₁，D），（C₁，E），（C₂，D），（C₂，E），
（C₃，D），（C₃，E），（C₄，D），（C₄，E），共8种可能，
所以P=

8

28

=

2

7

．
故恰好一个是合格品一个是次品的概率为

2

7

．

点评：本题考查频率分布表的应用，考查分层抽样的应用，解题时要认真审题．