Question

已知函数f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）若f（x）的最小值为-1，求a的值；
（Ⅱ）求y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值；
（Ⅲ）若方程|f（x）|=x-1在区间（0，+∞）有两个不相等实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）配方求出最小值即可得出；-1=1-

a2

4

，a²=8，所以a=±2

2

，
（Ⅱ）分类求解：当|1-

a2

4

|≤1，即

2a2+1，a＞0 1，-2 2 ≤a＜0 a2 4 -1，a＜-2 2

时，|f（x）|_max=|f（0）|=1，当|1-

a2

4

|＞1，即a＜-2

2

时，|f（x）|_max=

a2

4

-1
（Ⅲ）①当a＞0时|f（x）|在（0，+∞）单调递增，②当a＜0时，1-

a2

4

≥0，得出

△=(a-1)2-8＞0 1-a＞0

，③当a＜-2时，设方程x²+ax+1=0的2个根为x₁，x₂（x₁＜x₂），判断即可得出答案，总结即可

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0．
∴f（x）=（x+

a

2

）²+1-

a2

4

，其中a∈R，且a≠0．
∴若f（x）的最小值为-1=1-

a2

4

，a²=8，所以a=±2

2

，
（Ⅱ）①当a＞0时，y=|f（x）|在区间[0，|a|]上单调递增，最大值=|f（a）|=2a²+1；
②当a＜0时，f（0）=f（|a|）=1，
f（-

a

2

）=1-

a2

4

，
当|1-

a2

4

|≤1，即

2a2+1，a＞0 1，-2 2 ≤a＜0 a2 4 -1，a＜-2 2

时，|f（x）|_max=|f（0）|=1，
当|1-

a2

4

|＞1，即a＜-2

2

时，|f（x）|_max=

a2

4

-1
故y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值，|f（x）|_max=
（Ⅲ）设g（x）=x-1，
①当a＞0时|f（x）|在（0，+∞）单调递增，
此时方程|f（x）|=g（x）没有根，

②当a＜0时，1-

a2

4

≥0，即-2≤a＜0时，因为
x²+ax+1=x-1，有2个正根，所以

△=(a-1)2-8＞0 1-a＞0

，
得-2≤a＜1-2

2

③当a＜-2时，设方程x²+ax+1=0的2个根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
则有0＜x₁＜1＜x₂．
结合图形可知，

方程|f（x）|=g（x）在（0，+∞）上必有2个不等实数根．
综上，实数a的取值范围：（-∞，-2

2

）

点评：本题综合考查了函数的性质，不等式，方程的根，函数的零点问题，难度较大，分类较多．