Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P(

3

，1)，且离心率为

6

3

，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且 

MF

=λ

FN

（λ＞0），定点A（-4，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； 
（Ⅱ）当λ=1时，问：MN与AF是否垂直；并证明你的结论．
（Ⅲ）当M、N两点在C上运动，且

AM

•

AN

tan∠MAN=6

3

时，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P(

3

，1)，且离心率为

6

3

，可得

1-( b a )2

=

6

3

，

3

a2

+

1

b2

=1．解出即可．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（2，0），当λ=1时，

MF

=

FN

，可得-y₁=y₂，x₁+x₂=4，由M，N两点在椭圆上，可得

x

2 1

=6(1-

y 2 1

2

)，

x

2 2

=6(1-

y 2 2

2

)，可得x₁=x₂．即可得出．
（III）由

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|=6

3

及|AF|=6，可 得|y_M-y_N|=

3

．设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为e=

c

a

=

6

3

，
即

1-( b a )2

=

6

3

，可得

b2

a2

=

1

3

，
又椭圆C过点P(

3，1

)，
∴

3

a2

+

1

b2

=1．
解得a²=6，b²=2，椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．①
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（2，0），
则

MF

=(2-x1，-y1)，

NF

=(x2-2，y2)，
当λ=1时，

MF

=

FN

，∴-y₁=y₂，x₁+x₂=4，
由M，N两点在椭圆上，
∴

x

2 1

=6(1-

y 2 1

2

)，

x

2 2

=6(1-

y 2 2

2

)，
∴

x

2 1

=

x

2 2

．
若x₁=-x₂，则x₁+x₂=0≠2c=4（舍去），
∴x₁=x₂．
∴

MN

=(0，2y2)，

AF

=(6，0)，
∴

MN

⊥

AF

．
（Ⅲ）∵

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|=6

3

．
由已知点F（2，0），∴|AF|=6，
即得|y_M-y_N|=

3

．
当MN⊥x轴时，yM-yN≠

3

故直线的斜率存在．
不妨设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0），②
联立①②得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，
∴|y_M-y_N|=

24k2+24k4

1+3k2

=

3

，解得k=±1．
此时，直线MN的方程为x-y-2=0，或x+y-2=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数、弦长公式、三角形的面积计算公式、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．