Question

已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．
（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，则第三次扩充所得的新数是

 

；
（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n为正整数），则m+n的值为

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,推理和证明

分析：（1）第一次：c=1×3+1+3=7，第二次：c=3×7+3+7=31，第三次：c=31×7+7+31=255；
（2）c=pq+q+q=（p+1）（q+1）-1，从而类比推导前6次．

解答： 解：（1）第一次：c=1×3+1+3=7，
第二次：c=3×7+3+7=31，
第三次：c=31×7+7+31=255；
（2）第一次：c=pq+q+q=（p+1）（q+1）-1，
第二次：c=[（p+1）（q+1）-1+1][p+1]-1
=（p+1）²（q+1）-1，
第三次：c=[（p+1）（q+1）-1+1][（p+1）²（q+1）-1+1]-1
=（p+1）³（q+1）²-1
第四次：c=（p+1）⁵（q+1）³-1，
第五次：c=（p+1）⁸（q+1）⁵-1，
第六次：c=（p+1）¹³（q+1）⁸-1，
故m+n=13+8=21．
故答案为：255，21．

点评：本题考查了学生对新知识的接受能力及合情推理，属于基础题．