Question

已知函数f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]，a∈R．
（1）求f（x）的极值；
（2）定义在D内的函数y=f（x），若对于任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“A型函数”，若是，给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：新定义,导数的综合应用

分析：（1）利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值和极小值；
（2）由单调性，知f（x）_max-f（x）_min最大，所以只要证明f（x）_max-f（x）_min＜1就行．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-1，当x∈[-1，-

3

3

）和（

3

3

，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-

3

3

，

3

3

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=-

3

3

时，f（x）有极大值f(-

3

3

)=

2 3

9

+a，
当x=

3

3

时，f（x）有极小值f(

3

3

)=-

2 3

9

+a；
（2）f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]是“A型函数”，
f（-1）=f（1）=a，又由（1）知a-

2 3

9

≤f(x)≤

2 3

9

，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f(-

3

3

)=

2 3

9

+a，最小值为f(

3

3

)=-

2 3

9

+a，
∴对于任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-

3

3

）-f（

3

3

）|=

4 3

9

＜1成立，
∴f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]是“A型函数”．

点评：本题是一道新定义型试题，考查了，函数的极值，最值，恒成立问题，等价转化思想，属于中档题．