Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意的x，x′∈R，均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3，f（x）是减函数，求y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数f（x）是奇函数，根据奇函数的定义和减函数的定义，得出f（m）=-m，从而求出函数的值域．

解答： 解：∵f（x+x′）=f（x）+f（x′）
令x=0，则有
f（0+x′）=f（0）+f（x′）
∴f（0）=0
令x′=-x
f（x-x′）=f（x）+f（-x）
f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）在R上是奇函数，
又f（x）是减函数，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=2f（1）+f（1）=3f（1）=-3
f（1）=-1
易知，m＞0时，f（m）=mf（1）=-m
m＜0时，f（m）=-f（-m）=-（-m）f（1）=mf（1）=-m
∴f（m）=-m，m是任意整数
∴函数在[m，n]上的值域是[-n，-m]

点评：本题考查了函数的单调性，考查了函数的奇偶性，是一道中档题．