题目内容
（文）已知f（x）=ax3+3x2-x+1，a∈R．
（1）若f（x）的曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值及切线方程；
（2）若对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
（1）若f（x）的曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值及切线方程；
（2）若对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用,不等式的解法及应用
分析：（1）求出导数，由两直线垂直得到f'（1）=3a+5=-1，即可得到a，和切点坐标，切线方程；
（2）对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，等价为3ax2+2x-1≤0恒成立，则a＜0，且△≤0，解出即可得到a的范围．
（2）对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，等价为3ax2+2x-1≤0恒成立，则a＜0，且△≤0，解出即可得到a的范围．
解答：
（文）解：（1）f'（x）=3ax2+6x-1，
因为曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直，
所以f'（1）=3a+5=-1⇒a=-2，即f（x）=-2x3+3x2-x+1，
此时切点为（1，1），切线方程为x+y-2=0；
（2）因为对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，
所以3ax2+2x-1≤0恒成立，
则a＜0，且△≤0，即有a＜0，且4+12a≤0，解得a≤-
．
故实数a的取值范围是（-∞，-
]．
因为曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直，
所以f'（1）=3a+5=-1⇒a=-2，即f（x）=-2x3+3x2-x+1，
此时切点为（1，1），切线方程为x+y-2=0；
（2）因为对?x∈R对，不等式f'（x）≤4x恒成立，
所以3ax2+2x-1≤0恒成立，
则a＜0，且△≤0，即有a＜0，且4+12a≤0，解得a≤-
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故实数a的取值范围是（-∞，-
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点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查两直线的位置关系及二次不等式恒成立问题，注意二次项系数的符号，本题属于基础题．
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