Question

7．已知$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是三个单位向量，且$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$＞0，则对于任意的正实数t，|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|的最小值为$\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{1}{8}$或-$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为α，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$间的夹角为2α，则$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$=1×1×cosα＞0，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=cos2α．将|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|两边平方，化简整理，设t+$\frac{1}{t}$=m（m≥2），化为m的二次函数，由最值求法，可得最小值，结合二倍角的余弦公式，即可得到所求向量的数量积．

解答 解：由$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是三个单位向量，且$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$＞0，
设$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为α，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$间的夹角为2α，
则$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$=1×1×cosα＞0，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=cos2α．
|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|²=$\overrightarrow{c}$²+t²$\overrightarrow{a}$²+$\frac{1}{{t}^{2}}$$\overrightarrow{b}$²-2t$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$-$\frac{2}{t}$$\overrightarrow c$•$\overrightarrow b$+2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
=1+t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$-2（t+$\frac{1}{t}$）cosα+2cos2α．
设t+$\frac{1}{t}$=m（m≥2），则|${\overrightarrow c$-t$\overrightarrow a$-$\frac{1}{t}$$\overrightarrow b}$|²=m²-2mcosα+2cos2α-1
=（m-cosα）²+2cos2α-1-cos²α
由m≥2，0＜cosα≤1，
故当m=2，即t=1时，取得最小值（2-cosα）²+2cos2α-1-cos²α，
由题意可得（2-cosα）²+2cos2α-1-cos²α=$\frac{1}{4}$，
即为4cos²α-4cosα+1=$\frac{1}{4}$，
解得cosα=$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$．
即有$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=cos2α=2cos²α-1=$\frac{1}{8}$或-$\frac{7}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$或-$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查向量数量积的运算，注意运用平方法和向量的平方即为向量的模，同时考查三角函数的变换公式，考查运算求解能力，属于中档题．