Question

18．某城市准备对公交车票价的提升实施改革，市某报社提前调查了市区公众对公交车票价提升的态度，随机抽查了50 人，将调查情况进行整理后制成统计表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	6	9	6	3	4

（1）完成被调查者的频率分布直方图；

（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2 人进行追踪调查，记选取的4 人中不赞成公交车票价提升的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知条件能求出图中各组的纵坐标，由此能完成被调查人员的频率分布直方图．
（2）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，分别求出p（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）各年龄段的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
∴图中各年龄段的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．
∴被调查者的频率分布直方图如图所示：

（2）ξ 的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{75}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=1）═$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{{C}_{5}^{2}C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}•{C}_{4}^{1}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{34}{75}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{4}^{1}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}•{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{22}{75}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{75}$，…（7分）
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

∴ξ的数学期望E（ξ）=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{34}{75}$+2×$\frac{22}{75}$+3×$\frac{4}{75}$=$\frac{6}{5}$． …（9分）

点评 本题考查频率直方图的作法，考查随机变量ξ的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合思想的合理运用，属于中档题．