Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）；
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）＜0对x∈（0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：根据函数在曲线上一点的导数等于过这点切线的斜率很容易求出切线方程．f（x）＜0在（0，2]恒成立，说明在（0，2]上f（x）的最大值小于0，所以就转变成求函数的最大值了．而求函数的最大值，用的方法就是求函数的导数，判断函数的单调性，求函数的单调区间，并注意讨论a．

解答： 解：（1）a=1时，f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx，f′(x)=x-3+

2

x

，f'（1）=0，f（1）=-

5

2

；
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-(-

5

2

)=0(x-1)，即y=-

5

2

．
（2）由题意得[f（x）]_max＜0，f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

ax2-(2a+1)x+2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

∴①a=0时，在（0，2]上f'（x）=

2-x

x

≥0，∴f（x）在（0，2]单调递增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2＜0，∴a=0符合题意．
②a＜0时，在（0，2]上f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

=

a(x- 1 a )(x-2)

x

＞0，∴f（x）在（0，2]单调递增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0．
解得a＞ln2-1，∴ln2-1＜a＜0符合题意．
③a＞0时，若

1

a

＜2，即a＞

1

2

，则f（x）在(0，

1

a

)单调递增，(

1

a

，2)单调递减，∴fmax(x)=f(

1

a

)=-2-2lna＜0，∴a＞

1

2

符合题意．
若

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

，则f（x）在（0，2]上单调递增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0，∴0＜a≤

1

2

符合题意．
综上得：a∈（ln2-1，+∞）．

点评：考查的知识点有：函数在一点的导数与过这点切线的关系，用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间．由条件f（x）＜0，得出只要让f（x）的最大值小于0，并注意对a的讨论过程．