Question

11．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．
（1）求证：面ABP⊥面ABC；
（2）求二面角C-BP-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角C-BP-A的余弦值．

解答 解：（1）证明：由题设知AP=CP=BP．
∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，
即D∈AB．
∵PD⊥AB，PD?平面ABP，
∴由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．
（2）取PB中点E，连结CE、DE、CD．
∵△BCP为正三角形，
∴CE⊥BD．
△BOD为等腰直角三角形，
∴DE⊥PB．
∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．
又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，面ABP∩面ABC=AB，
由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．
∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．
设BC=1，则CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DE=$\frac{1}{2}$，
cos∠CED=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及二面角的求解，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．