Question

16．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A₁-BD-C的正切值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\sqrt{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先找二面角A₁-BD-A的平面角，在△A₁OA中，∠A₁OA即为二面角A₁-BD-A的平面角．根据二面角A₁-BD-C与二面角A₁-BD-A 互为补角进行求解即可．

解答 解：连接AC交BD与点O如图所示，
因为AA₁⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A₁OA即为二面角A₁-BD-A的平面角，
∠A₁OC即为二面角A₁-BD-C的平面角，
且二面角A₁-BD-C与二面角A₁-BD-A 互为补角，
在△A₁OA中，设AA₁=a，则AO=$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
所以二面角A₁-BD-A的正切值为tan∠A₁OA=$\frac{{A}_{1}A}{AO}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$，
∵tan∠A₁OC=tan（π-∠A₁OA）=-tan∠A₁OA=-$\sqrt{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查二面角的大小求解，根据二面角的定义，找出二面角的平面角是解决本题的关键．注意由于二面角A₁-BD-C是钝二面角根据条件转化为求二面角A₁-BD-A进行求解．