Question

3．在正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中．O为面ABCD的中心．
（1）求证：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求二面角C-B₁D₁-C₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）根据二面角平面角的定义先作出二面角的平面角，得到∠C₁EC是二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角C-B₁D₁-C₁的大小．

解答 证明：（1）在正方体中，连接CB₁，
则CB₁⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BCC₁B₁，
∴AB⊥CB₁，
∴CB₁⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，
∴CB₁⊥AC₁，
同理CD₁⊥AC₁，
∵CD₁⊥∩CB₁=C
∴AC₁⊥平面B₁CD₁；
解：（2）连接A₁C₁交B₁D₁于E，
在正方体中CB₁=CD₁，
则CE⊥B₁D₁，
又C₁E⊥B₁D₁，
∴∠C₁EC是二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，
设CC₁=1，则C₁E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则tan∠C₁EC=$\frac{C{C}_{1}}{{C}_{1}E}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
即∠C₁EC=arctan$\sqrt{2}$，
即二面角C-B₁D₁-C₁的大小为arctan$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的判定以及二面角的求解，根据相应的判定定理以及利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．