Question

20．已知函数f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$，g（x）=ln|x|+|x|-2，设函数F（x）=f（x-1）g（x+1），且函数F（x）的零点都在区间[a，b]（a＜b，a∈Z，b∈Z）内，则b-a的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，求出f（x）的单调区间，从而求出其零点的范围，求出f（x-1）的零点所在的范围；通过讨论x的范围，求出g（x）在（0，+∞）的导数，得到g（x）的单调区间，结合函数的奇偶性求出所有零点所在的区间，从而求出g（x+1）所在的零点的范围，进而求出a，b的值，求出答案即可．

解答 解：∵f′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹⁵=$\frac{1{-x}^{2016}}{1+x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜1且x≠-1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（-∞，-1）递递增，在（-1，1）递增，在（1，+∞）递减，
而f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2016}$＜0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点，
f（1）=1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）＞0，
f（2）=1-2³（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）-2⁵（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）-2⁷（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）-…-2²⁰¹⁵（$\frac{1}{1008}$-$\frac{1}{2015}$）＜0，
∴函数f（x）在区间（1，2）内有零点，
故函数f（x）在（-1，2）有2个零点，
∴-1＜x-1＜2，∴0＜x＜3；
g（x）=ln|x|+|x|-2，
当x＞0时，g（x）=lnx+x-2，g′（x）=$\frac{1}{x}$+1＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递增，
而g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，
∴x＞0时，g（x）在（1，2）存在唯一零点，
∵g（x）是偶函数，
∴g（x）在（-∞，0）递减，
而g（-1）=-1＜0，g（-2）=ln2＞0，
∴x＜0时，g（x）在（-2，-1）存在唯一零点，
∴g（x）在（-2，2）存在零点．
∴-2＜x＜2，∴-2＜x+1＜2，即-3＜x＜1，
综上-3＜x＜3，
∴a=-3，b=3，b-a=6，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查函数的奇偶性问题，考查导数的应用以及数列求和问题，是一道综合题．