题目内容
5．求证：对一切正整数n，都有：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＜$\frac{7}{10}$．分析 构造函数y=$\frac{1}{x}$，利用函数在（0，+∞）是凹函数，由图象结合曲边梯形的面积表示得到证明．
解答 
证明：构造函数y=$\frac{1}{x}$，因为此函数在（0，+∞）
是凹函数，由图象可知，
在区间[n，2n]上的n个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，
所以$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜${∫}_{n}^{2n}$$\frac{1}{x}$dx
=lnx|${\;}_{n}^{2n}$=ln2n-lnn=ln2≈0.6931＜$\frac{7}{10}$．
则对一切正整数n，都有：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＜$\frac{7}{10}$．
点评 本题考查了不等式的证明，注意采用定积分的几何意义证明，通过面积关系证明，属于难题．
练习册系列答案
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| A． | 1 | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | 2 | D． | 3 |
13．在首项为63，公比为2 的等比数列{an}中，2016是该数列的（ ）
| A． | 第5项 | B． | 第6项 | C． | 第7项 | D． | 第8项 |
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| A． | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ | B． | 3 | C． | 2或3 | D． | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$ |
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