Question

8．在平面直角坐标系xOy中，⊙C经过二次函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²+2x-3）与两坐标轴的三个交点．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）设点A（-2，0），点B（2，0），试探究⊙C上是否存在点P满足PA=$\sqrt{2}$PB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出圆的方程，分别令x=0，y=0，求出D、E、F的值，从而求出圆的标准方程即可；
（2）假设存在点P（x，y）满足题意，得到关于x，y的方程组，求出P的坐标即可．

解答 解：（1）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0 得x²+Dx+F=0，这与x²+2x-3=0是同一个方程，故D=2，F=-3，…（3分）
令x=0 得y²+Ey=F=0，此方程有一个根为-3，代入得E=0，…（6分）
所以圆C 的标准方程为（x+1）²+y²=4．…（7分）
（Ⅱ）假设存在点P（x，y）满足题意，
则PA²=2PB²，于是（x+2）²+y²=2（x-2）²+2y²，
化简得（x-6）²+y²=32①．…（10分）
又因为点P在⊙C上，故满足（x+1）²+y²=4②．
①②联立解得点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．…（14分）
所以存在点P满足题意，其坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．…（15分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查圆的标准方程，是一道中档题．