Question

15．已知双曲线的焦距为2$\sqrt{3}$，焦点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$，则双曲线的标准方程为（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1或y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1或$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1

Answer 1

分析 分类讨论，设出双曲线的方程，利用双曲线的焦距为2$\sqrt{3}$，焦点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$，列出方程组，求出几何量，即可得出双曲线的标准方程．

解答 解：由题意，
焦点在y轴上，设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），其上焦点为（0，c），一条渐近线为y=$\frac{a}{b}$x．
∵双曲线的焦距为2$\sqrt{3}$，焦点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$，
∴2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴a=1，
∴双曲线的标准方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
同理，焦点在x轴上，方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
故选：C．

点评 本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，正确理解双曲线的几何性质是关键．