Question

20．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的两焦点作实轴的垂线，分别与渐近线交于A、B、C、D四点，则矩形ABCD的面积为（　　）

• A． $\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 8
• D． 2

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，令x=2，x=-2求得矩形的顶点坐标，求出矩形ABCD的相邻两边长，即可得到所求面积．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
则双曲线的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
令x=-2，可得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；令x=2，可得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
则有A（-2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（-2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），C（2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），D（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
则矩形ABCD的面积为|AB|•|BC|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×4=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，求出矩形的顶点坐标是解题的关键．