Question

5．已知函数f（x）=acosx+x²，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（$\frac{π}{6}$，f（$\frac{π}{6}$））处的切线的斜率为$\frac{1}{2}+\frac{π}{3}$，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程，
（Ⅱ）分离参数，构造函数，利用导数，求出函数最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=acosx+x²，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），a∈R，
∴f′（x）=-asinx+2x，
∴f′（$\frac{π}{6}$）=-asin$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$a+$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}+\frac{π}{3}$，
∴a=-1，
∴f′（0）=sin0+0=0，f（0）=-1，
∴线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=-1，
（Ⅱ）∵f（x）≥2恒成立，
∴acosx+x²≥2，在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∵0＜cosx≤1
∴a≥$\frac{2-{x}^{2}}{cosx}$，
设g（x）=$\frac{2-{x}^{2}}{cosx}$，
∴g′（x）=$\frac{-2xcosx+（2-{x}^{2}）sinx}{co{s}^{2}x}$，
令h（x）=-2xcosx+（2-x²）sinx，
∴h′（x）=-2cosx+2xsinx-2xsinx+（2-x²）cosx=-x²cosx＜0，在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴h（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）单调递减，
∵h（-$\frac{π}{2}$）=-2+$\frac{{π}^{2}}{4}$＞0，h（0）=0，h（$\frac{π}{2}$）=2-$\frac{{π}^{2}}{4}$＜0
∴当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（0）=2，
∴a≥2

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，考查分类讨论、转化与化归解题思想及其相应的运算能力．