Question

15．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（sinωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=$\sqrt{3}$，当f（A）取得最大值时，求边c．

Answer 1

分析 （I）根据平面向量的数量积公式得出f（x）的解析式，利用三角恒等变换化简，根据周期公式计算ω，根据正弦函数的单调性列不等式求出单调增区间；
（II）求出A，根据正弦定理计算B，从而得出C，在计算c即可．

解答 解：（I）f（x）=$\sqrt{3}$cosωxsinωx+cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵f（x）的最小正周期为π，ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
即f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（II）f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴当2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ即A=$\frac{π}{6}$+kπ时，f（A）取得最大值．
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{sinB}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$，
当B=$\frac{π}{3}$时，C=$\frac{π}{2}$，△ABC是直角三角形，不符合题意；
∴B=$\frac{2π}{3}$，C=$\frac{π}{6}$．△ABC是等腰三角形，
∴c=a=1．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，解三角形，属于中档题．