Question

14．中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图2中菱形的一个锐角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{24}{25}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 由题意，图2是四个全等的直角三角形拼成，只需求出图1中一个直角三角形的小锐角的正余弦值，利用二倍角即可求出图2中菱形的一个锐角的正弦值．

解答 解：由题意，大正方形的面积为100，其边长为10，小正方形的面积为4，其边长为2．
 每个直角三角形的面积为$\frac{1}{4}（100-4）=24$．
设图1中一个直角三角形的边长为m，n+2，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}m（n+2）=24}\\{{m}^{2}+（n+2）^{2}=1{0}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：m=n=6
设小边所对的角为θ，则$sinθ=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$cosθ=\frac{4}{5}$，
那么：$sin2θ=2sinθcosθ=\frac{24}{25}$．即图2中菱形的一个锐角的正弦值为$\frac{24}{25}$
故选：A．

点评 本题考查了直角三角形的性质的应用和二倍角公式的计算．属于基础题．