Question

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足b=2csinA．
（I）若C为锐角，且B=2A，求角C；
（II）若a=$\sqrt{13}，sinA=\frac{3}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得2sinAcosA=2sinCsinA，由于sinA≠0，可得cosA=sinC，结合C为锐角，可得C的值．
（II）利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用余弦定理可求c，b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵b=2csinA，由正弦定理可得：sinB=2sinCsinA，…2分
又∵B=2A，
∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴cosA=sinC，…4分
∵C为锐角，可得C=$\frac{π}{2}$-A，…5分
∵$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{C=\frac{π}{2}-A}{B=2A}}\\{A+B+C=π}\end{array}\right.$，解得：C=$\frac{π}{4}$…6分
（II）∵sinA=$\frac{3}{5}$，可得：cosA=$\frac{4}{5}$，…8分
∴b=2csinA=$\frac{6}{5}$c，又a=$\sqrt{13}$，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：13=$\frac{36}{25}$c²+c²-2×$\frac{6}{5}$c²×$\frac{4}{5}$，解得：c=5，b=6，…10分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×6×5×$$\frac{3}{5}$=9…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．