Question

（1）证明：sinx+siny=2sin

x+y

2

cos

x-y

2

（2）三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a，b，c成等差数列，求证：tan

A

2

tan

C

2

≥tan²

B

2

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）sinx+siny=sin(

x+y

2

+

x-y

2

)+sin(

x+y

2

-

x-y

2

)，利用两角和差的正弦公式展开即可得出．
（2）由a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，利用（1）可化为tan

A

2

tan

C

2

=

1

3

．由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

．可得tan2

B

2

≤

1

3

，即可得出．

解答： 证明：（1）sinx+siny=sin(

x+y

2

+

x-y

2

)+sin(

x+y

2

-

x-y

2

)=2sin

x+y

2

cos

x-y

2

．
（2）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，
又由（1）可知2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sin（A+C）=4sin

A+C

2

cos

A+C

2

，
∴cos

A

2

cos

C

2

=3sin

A

2

sin

C

2

，
∴tan

A

2

tan

C

2

=

1

3

．
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

．
∴0＜B≤

π

3

，
∴tan2

B

2

≤

1

3

，
∴tan

A

2

tan

C

2

≥tan2

B

2

．

点评：本题综合考查了两角和差的正弦公式、等差数列的性质、正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形的内角和定理、诱导公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．