Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，且AD=1，SA=AB=BC=2，E，F分别是SC，SB的中点．
（1）求证：SB⊥平面ADEF；
（2）求面SAB与面SCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得SA⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面SAB，由此能证明SB⊥平面ADEF．
（2）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
∴SA⊥BC，AB⊥BC，
∴BC⊥平面SAB，
∵E，F分别是SC，SB的中点，
∴EF∥BC，∴EF⊥平面SAB，
∵SB?平面SAB，∴EF⊥SB，
又SA=AB，∴AF⊥SB，
∵AF∩EF=F，∴SB⊥平面ADEF．
（2）解：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2，0），
D（1，0，0，），S（0，0，2），F（0，1，1）．
则

AE

=（0，1，1），

SD

=（1，0，-2），

CD

=（-1，-2，0）．
设平面SCD的法向量是

n

=（x，y，z），
则

n • SD =x-2z=0 n • CD =-x-2y=0

，
令z=1，则x=2，y=-1．于是

n

=（2，-1，1）．
平面SAB的法向量为

m

=（1，0，0）．
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
则|cosα|=|

n

，

m

|=

2

6

=

6

3

，
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．