Question

点P为圆x²+y²=1上一个动点，M为点P在y轴上的投影，动点Q满足

QM

+2

MP

=0．
（1）求动点Q的轨迹C的方程；
（2）一条直线l过点（0，-

1

2

），交曲线C于A、B两点，且A、B同在以点D（0，1）为圆心的圆上，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）

QM

+2

MP

=0变形得

MQ=

2

MP

，即P点为M和Q的中点，设动点Q的坐标为（x，y），利用“代入法”即得所求轨迹方程．
（2）首先考虑直线l的斜率不存在的情况，不符合题意；设直线l的斜率为k，则直线方程为y=kx-

1

2

，与椭圆方程联立，应用韦达定理得到弦AB的中点N点坐标，由DN⊥AB，可得k的方程，求k，求得直线l的方程．

解答： 解：（1）

QM

+2

MP

=0变形得

MQ=

2

MP

，即P点为M和Q的中点，设动点Q的坐标为（x，y），则P点坐标为（

x

2

，y），将其代入到圆的方程中，得

x2

4

+y2=1，即为所求轨迹方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合条件；设直线l的斜率为k，则直线方程为y=kx-

1

2

，
将其代入到椭圆方程中并整理得（4k²+1）x²-4kx+3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理得：x₁+x₂=

4k

4k2+1

，y₁+y₂=-

1

4k2+1

设弦AB中点为N，则N点坐标为（

2k

4k2+1

，-

1

8k2+2

），
由题意得DN⊥AB，所以

- 1 8k2+2 -1

2k 4k2+1

•k=-1，解得k=±

2

4

，
所以所求直线l的方程为y=±

2

4

x-

1

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积，直线与椭圆的位置关系，直线垂直的条件，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．