Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（α）=

2

5

2

，且0＜α＜

π

4

，求sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据三角函数的性质求得函数的值域．
（Ⅱ）先求得cos（α+

π

4

）的值，进而根据正弦的两角和公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sinx+

1

2

+

cosx

2

-

1

2

=

1

2

（sinx+cosx）=

2

2

sin（x+

π

4

），
∵sin（x+

π

4

）∈[-1，1]，
∴

2

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
即函数f（x）的值域为[-

2

2

，

2

2

]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（α）=

2

2

sin（α+

π

4

），
即

2

2

sin（α+

π

4

）=

2 2

5

，
∴sin（α+

π

4

）=

4

5

，
∵0＜α＜

π

4

，
∴

π

4

＜α+

π

4

＜

π

2

，
∴cos（α+

π

4

）=

3

5

，
∴sinα=sin（α+

π

4

-

π

4

）=sin（α+

π

4

）cos

π

4

-cos（α+

π

4

）sin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生的运算能力和细心程度．