Question

设直线l：x=ty+

p

2

与抛物线C：y²=2px（p＞0，p为常数）交于不同两点A、B，点D为抛物线准线上的一点．
（Ⅰ）若t=0，且三角形ABD的面积为4，求抛物线的方程；
（Ⅱ）当△ABD为正三角形时，求出点D的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）t=0时，不妨设A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），则|AB|=2p，利用三角形ABD的面积为4，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）直线l：x=ty+

p

2

与抛物线C：y²=2px联立可得y²-2pty-p²=0，求出M，D的坐标，利用|DM|=

3

2

|AB|，求出点D的坐标．

解答： 解：（I）直线x=ty+

p

2

过焦点F（

p

2

，0）
t=0时，不妨设A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），则|AB|=2p，
又D点到直线l的距离d=p，
因为三角形ABD的面积为4，
所以

1

2

•2p•p=4，
所以p=2
所以抛物线的方程为y²=4x    …（4分）
（II）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），D（-

p

2

，m），则
直线l：x=ty+

p

2

与抛物线C：y²=2px联立可得y²-2pty-p²=0．
则y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-p²，
从而x₁+x₂=2pt²+p
所以线段AB的中点为M（pt²+

p

2

，pt）           …（6分）
由DM⊥AB得

pt-m

pt2+p

=-t，解得m=pt³+2pt
从而D（-

p

2

，pt³+2pt）…（10分）
|DM|=p（t²+1）

t2+1

，|AB|=|AF|+|BF|=2p（t²+1）
由|DM|=

3

2

|AB|得到p（t²+1）

t2+1

=

3

2

×2p（t²+1），…（13分）
解得t=±

2

               …（14分）
此时，点D（-

p

2

，±4

2

p） …（15分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．