Question

如图四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，△ABC为边长是2的正三角形，BC=BE=2CD，BE⊥BC，CD∥BE．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC中点H，连结AH和EH，EH和BD交于N点，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证；
（2）取AC中点K，连结DK、BK，由面面垂直的性质和判定定理，得到BK⊥平面ACD，△AKD是△ABD在平面ACD上投影，设二面角B-AD-C平面角为θ，则S_△AKD=S_△ABDcosθ，分别求出三角形AKD和三角形ABD的面积即可．

解答： （1）证明：取BC中点H，连结AH和EH，EH和BD交于N点，
∵平面ABC⊥平面BCDE，△ABC为正△，AH⊥BC，
∴AH⊥平面BEDC，∵BD?平面BEDC，
∴AH⊥BD，在平面BEDC中，
∵BE=BC=2，BF=CD=1，∠BCD=∠EBH=90°，
∴RT△BDC≌RT△EHB，即有∠CBD=∠BEH，
∠CBD+∠DBE=90°，∴∠DBE+∠BEH=90°，∴∠BNE=90°，
∴EH⊥BD，∵AH∩EH=H，∴BD⊥平面AEH，∵AE?平面AEH，
∴BD⊥AE；
（2）解：取AC中点K，连结DK、BK，
∵平面ABC⊥平面BEDC，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，
∵△ABC是正△，∴BK⊥AC，
∴BK⊥平面ACD，△AKD是△ABD在平面ACD上投影，
设二面角B-AD-C平面角为θ，则S_△AKD=S_△ABDcosθ，
AD=

AC2+CD2

=

5

，BD=

5

，则△ABD是等腰△，
在△ABD上作DO⊥AB，O是垂足，DO=

5-1

=2，
则S_△ABD=

1

2

AB•DO=

1

2

×2×2=2，S_△AKD=

1

2

S_△ACD=

1

2

×

1

2

CD•AC=

1

4

×1×2=

1

2

，
即有

1

2

=2cosθ，cosθ=

1

4

．
则二面角B-AD-C的余弦值为

1

4

．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，注意运用面积射影定理，考查运算能力，射影中档题．