Question

已知动圆P经过点F（2，0），且与直线x=-2相切．
（1）求动圆的圆心P的轨迹M的方程；
（2）若A，B，C，D是轨迹M上的四个点，且满足

OF

=m

OA

+n

OB

，

OF

=r

OC

+s

OD

，

FA

•

FC

=0，其中O为原点，m，n，r，s∈R，且m+n=r+s=1，试判断以A，B，C，D为顶点的四边形的面积是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量的基本定理及其意义

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由圆心到切线的距离等于圆的半径可知动圆的圆心P的轨迹为以F为焦点，以x=-2为准线的抛物线，则抛物线方程可求；
（2）由共线向量基本定理可得AB，CD为经过抛物线焦点F的两条直线，结合

FA

•

FC

=0，可知两直线互相垂直，
设直线AB的方程为：x=my+2（m＜0），和抛物线方程联立得到A，B两点纵坐标的和，由弦长公式求得|AB|，同理求得|CD|，代入四边形的面积公式后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）设动圆圆心P（x，y），由题意可知P点到F点的距离等于到直线x=-2的距离，
∴动圆的圆心P的轨迹为以F为焦点，以x=-2为准线的抛物线，
则其轨迹M的方程为y²=8x；
（2）由

OF

=m

OA

+n

OB

，

OF

=r

OC

+s

OD

，且m+n=r+s=1可知，
AB，CD为经过抛物线焦点F的两条直线，
又

FA

•

FC

=0，
可知两直线互相垂直，
∵F（2，0），故设直线AB的方程为：x=my+2（m＜0），
联立抛物线方程y²=8x，消元可得：y²-8my-16=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+4=m（y₁+y₂）+8=8m•m+8=8（m²+1）．
∵CD⊥AB，∴CD直线的方程为：x=-

1

m

y+1，
同理|CD|=8[（-

1

m

）²+1]
从而S_{四边形ABCD}=

1

2

|AB||CD|=

1

2

•64•（m²+1）（

1

m2

+1）
=32（2+m2+

1

m2

）≥32（2+2

m2• 1 m2

）=128．（当m=-1时取等号）．
因此，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积有最小值，最小值为32，此时直线AB的斜率为-1．

点评：本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的关系，训练了共线向量基本定理在解题中的应用，这里设直线方程的方法显得格外灵活，是中档题．