题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）上的点到其两焦点距离之和为4，且过点（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若
+
=0，求△AOB的面积．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若
| x1x2 |
| a2 |
| y1y2 |
| b2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）利用椭圆
+
=1（a＞b＞0）上的点到其两焦点距离之和为4，根据椭圆的定义，求出a，利用椭圆过点（0，1），求出b，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-
），代入椭圆方程，消去y并整理，利用韦达定理，结合
+
=0，求出k，进而求出|AB|，原点O到直线AB的距离，即可求△AOB的面积．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-
| 3 |
| x1x2 |
| a2 |
| y1y2 |
| b2 |
解答：
解：（Ⅰ）依题意，∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）上的点到其两焦点距离之和为4，
∴a=2，
∵椭圆过点（0，1），
∴b=1，
∴椭圆方程为
+y2=1． …（5分）
（Ⅱ）∵直线AB过右焦点（
，0），设直线AB的方程为y=k（x-
）．
代入椭圆方程，消去y并整理得（1+4k2）x2-8
k2x+12k2-4=0． （*）
故x1+x2=
，x1x2=
．
∴y1y2=k（x1-
）•k2（x-
）=
．
又
+
=0，即
+y1y2=0．
∴
+
=0，可得k2=
，即k=±
．
方程（*）可化为3x2-4
x+2=0，
由|AB|=
•|x1-x2|=
•
=2．
∵原点O到直线AB的距离d=
=1．
∴S△AOB=
|AB|•d=1． …（13分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴a=2，
∵椭圆过点（0，1），
∴b=1，
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）∵直线AB过右焦点（
| 3 |
| 3 |
代入椭圆方程，消去y并整理得（1+4k2）x2-8
| 3 |
故x1+x2=
8
| ||
| 4k2+1 |
| 12k2-4 |
| 4k2+1 |
∴y1y2=k（x1-
| 3 |
| 3 |
| -k2 |
| 4k2+1 |
又
| x1x2 |
| a2 |
| y1y2 |
| b2 |
| x1x2 |
| 4 |
∴
| 3k2-1 |
| 4k2+1 |
| -k2 |
| 4k2+1 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
方程（*）可化为3x2-4
| 3 |
由|AB|=
| 1+k2 |
|
(
|
∵原点O到直线AB的距离d=
|
| ||
|
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，确定直线AB的斜率是关键．
练习册系列答案
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| A、S2009=2009，a2005＜a5 |
| B、S2009=2009，a2005＞a5 |
| C、S2009=-2009，a2005≤a5 |
| D、S2009=-2009，a2005≥a5 |