Question

已知圆O：x²+y²=1，由直线l：x+y+k=0上一点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：由题意，∠APB=60°，OP=2，可得P的轨迹方程为x²+y²=4，在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°，可以转化为直线l：x+y+k=0与x²+y²=4至少存在一个交点，利用圆心到直线的距离d=

|k|

2

≤2，即可确定k的取值范围．

解答： 解：由题意，∠APB=60°，OP=2，
∴P的轨迹方程为x²+y²=4，
∵在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°，
∴直线l：x+y+k=0与x²+y²=4至少存在一个交点，
∴圆心到直线的距离d=

|k|

2

≤2，
∴-2

2

≤k≤2

2

，
∴k的取值范围是[-2

2

，2

2

]．
故答案为：[-2

2

，2

2

]．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°，可以转化为直线l：x+y+k=0与x²+y²=4至少存在一个交点，是解题的关键．