题目内容
为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域设立了如图所示东西走向，相距20海里的A，B两个观测站，观测范围是到A，B两观测站距离之和不超过40海里的区域．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（参考数据：
| 2 |
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考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：应用题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，题意可知：考察区域边界曲线是以A，B为焦点的椭圆，设出椭圆方程，利用相距20海里的A，B两个观测站，观测范围是到A，B两观测站距离之和不超过40海里的区域，即可得到观测区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，可得直线CD方程，与椭圆方程联立，求出|CD|，即可求出结论．
（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，可得直线CD方程，与椭圆方程联立，求出|CD|，即可求出结论．
解答：
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．…（1分）
（Ⅰ）依题意可知：考察区域边界曲线是以A，B为焦点的椭圆，…（2分）
设椭圆方程为：
+
=1(a＞b＞0)，
则
，…（5分）
解得a=20，b=10
，…（6分）
∴考察区域边界曲线的方程为：
+
=1．…（7分）
（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，
∵C（20，0），kCD=tan135°=-1，
∴直线CD方程：y=-x+20．…（8分）
联立方程
，整理得：7x2-160x+400=0，…（9分）
解得x1=20，x2=
…（10分）
∴|CD|=
•|20-
|=
≈24…（11分）
∴t=
=3（小时）．…（12分）
∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域..…（13分）
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．…（1分）（Ⅰ）依题意可知：考察区域边界曲线是以A，B为焦点的椭圆，…（2分）
设椭圆方程为：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则
|
解得a=20，b=10
| 3 |
∴考察区域边界曲线的方程为：
| x2 |
| 400 |
| y2 |
| 300 |
（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，
∵C（20，0），kCD=tan135°=-1，
∴直线CD方程：y=-x+20．…（8分）
联立方程
|
解得x1=20，x2=
| 20 |
| 7 |
∴|CD|=
| 2 |
| 20 |
| 7 |
| 120 |
| 7 |
| 2 |
∴t=
| 24 |
| 8 |
∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域..…（13分）
点评：本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查应用意识．
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