Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长等于2的正三角形，且∠PCA=∠PCB．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB； 
（Ⅱ）设正△ABC的中心为O，△PAB的重心为G，求证：OG∥平面PAC；
（Ⅲ）当侧面PBC⊥底面ABC时，二面角P-AB-C与二面角A-PC-B的大小恰好相等．
①求证：PC⊥底面ABC； 
②求二面角A-PB-C的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）作AB的中点E，连结PE，CE，有BC=AC，∠PCA=∠PCB，PC=PC，推断出△PBC≌△PAC，进而可知PB=PA，推断出PE⊥AB，又AC=BC，E为AB的中点，推断出CE⊥AB，进而根据线面垂直的判定定理知AB⊥平面PEC，则可证明出PC⊥AB； 
（Ⅱ）先根据题意推断出G，O分别在PE，CE上，利用三角形重心的性质推断出

EG

GP

=

EO

OC

，进而推断出OG∥PC，最后根据线面平行的判定定理推断出OG∥平面PAC．
（Ⅲ）①作BC的中点F，连结AF，由AB=AC，推断出AF⊥BC，进而根据面面垂直的性质推断出AF⊥平面BCP，进而可知AF⊥PC，利用线面垂直的判定定理推断出PC⊥平面ABC．
②由PC⊥平面ABC．推断出PC⊥AC，PC⊥BC，判断出∠ACB为二面角A-PC-B，根据PE⊥AB，CE⊥AB，判断出∠PEC为平面APB和平面ABC的二面角，进而可知∠PEC=∠ACB=60°，在Rt△PEC中，求得PC，利用勾股定理求得BP，作FH⊥PB，连结AH，由AE⊥平面BCP，推断出BP⊥AE，进而可知BP⊥平面AFH，根据线面垂直的性质可知BP⊥AH，推断出二面角A-PB-C为∠AHF，根据∠CBP=∠PBC，∠FHB=∠PCB=90°，判断出△BFH∽△BPC，利用

BF

BP

=

FH

PC

，求得FH，最后在Rt△AFH中，求得tan∠AHF．

解答： （Ⅰ）证明：作AB的中点E，连结PE，CE，
∵BC=AC，∠PCA=∠PCB，PC=PC，
∴△PBC≌△PAC，
∴PB=PA，
∴PE⊥AB，
∵AC=BC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，
∵CE?平面PEC，PE?平面PEC，PE∩CE=E，
∴AB⊥平面PEC，
∵PC?平面PEC，
∴PC⊥AB； 
（Ⅱ）△PAB的重心为G，△ABC的中心为O，且PE，CE分别为△PAB，△ABC的中线，
∴G，O分别在PE，CE上，
∴

EG

GP

=

1

2

=

EO

OC

，
∴OG∥PC，
∵PC?平面APC，OG?平面APC，
∴OG∥平面PAC．
（Ⅲ）①作BC的中点F，连结AF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵面PBC⊥底面ABC，面PBC∩底面ABC=BC，
∴AF⊥平面BCP，
∵PC?平面BCP，
∴AF⊥PC，
∵PC⊥AB，AB∩AF=A，AB?平面ABC，AF?平面ABC，
∴PC⊥平面ABC．
②∵PC⊥平面ABC．
∴PC⊥AC，PC⊥BC，
∴∠ACB为二面角A-PC-B，
∵PE⊥AB，CE⊥AB，
∴∠PEC为平面APB和平面ABC的二面角，
∴∠PEC=∠ACB=60°，
∴在Rt△PEC中，PC=tan60°•EC=3，
∴BP=

BC2+PC2

=

13

，
作FH⊥PB，连结AH，
∵AE⊥平面BCP，
∴BP⊥AE，
∴BP⊥平面AFH，
∵AH?平面AFH，
∴BP⊥AH，
∴二面角A-PB-C为∠AHF，
∵∠CBP=∠PBC，∠FHB=∠PCB=90°，
∴△BFH∽△BPC，
∴

BF

BP

=

FH

PC

，
∴FH=

BF

BP

•PC=

1

13

×3=

3 13

13

，
∴在Rt△AFH中，tan∠AHF=

AF

FH

=

3

3 13 13

=

39

3

．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质，二面角的计算等．在第三问中，解题的关键是找到所求的二面角的平面．