Question

2．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），
（1）求分数在[70，80）中的人数；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人；
（3）在（2）中抽取的5人中，随机抽取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图先求出分数在[70，80）内的概率，由此能求出分数在[70，80）中的人数．
（2）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人数．
（3）用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，
所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：
1-（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，
∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人．…5分
（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，
分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，
抽取的5人中分数在[40，50）的人有：5×$\frac{10}{10+15}$=2人．…9分
（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，
用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，
抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，
5人中随机抽取2 人共有n=${C}_{5}^{2}$=10种可能，
分别在不同区间上有m=${C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}$=6种可能．
所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．…14分．

点评 本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．