Question

12．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），对任意的x₁，x₂，x₃，且0≤x₁＜x₂＜x₃≤π，都有|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|≤m成立，则实数m的最小值为3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据三角函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，π]的图象与性质，即可求出对任意的x₁，x₂，x₃，且0≤x₁＜x₂＜x₃≤π时，
|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|的最大值，从而求出实数m的最小值．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），其中x∈[0，π]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]，
∴-1≤f（x）≤1；
又对任意的x₁，x₂，x₃，且0≤x₁＜x₂＜x₃≤π，
都有|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|≤m成立，
不妨令f（x₂）=-1，则：
当f（x₁）=1、f（x₃）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，
|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|取得最大值为2+1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴实数m的最小值为3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．