Question

11．在平面直角坐标系xoy中，点P到两点$（{0，\sqrt{3}}），（{0，-\sqrt{3}}）$的距离之和等于4，设点P的轨迹为C
（1）写出曲线C的标准方程
（2）设直线y=kx+1与曲线C交于A，B两点，求当k为何值时，能使∠AOB=90°？
（3）在（2）的条件下，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：点P的轨迹C为椭圆，设标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则c=$\sqrt{3}$，a=2，b²=a²-c²=1，解出可得椭圆的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆联立，化为：（k²+4）x²+2kx-3=0，△＞0恒成立，由∠AOB=90°，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，把根与系数的关系代入解得k．
（3）在（2）的条件下，x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+4}$=$±\frac{4}{17}$，x₁•x₂=-$\frac{12}{17}$，利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：点P的轨迹C为椭圆，设标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则c=$\sqrt{3}$，a=2，b²=a²-c²=1，可得椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（k²+4）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（k²+4）＞0恒成立，
x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+4}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{{k}^{2}+4}$，
∵∠AOB=90°，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=x₁•x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（1+k²）•$\frac{-3}{{k}^{2}+4}$+$\frac{-2{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+1=0，
解得k=$±\frac{1}{2}$．满足△＞0．
∴当k=$±\frac{1}{2}$时，能使∠AOB=90°．
（3）在（2）的条件下，x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+4}$=$±\frac{4}{17}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{{k}^{2}+4}$=-$\frac{12}{17}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[\frac{16}{1{7}^{2}}-4×（-\frac{12}{17}）]}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．