Question

求函数f（x）=x²-2x+3在下列定义域内的值域．
（1）x∈[-2，0）函数y=f（x）的值域；
（2）x∈[t，t+1]（其中

1

2

＜t＜1）函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）找出函数的对称轴，根据函数的单调性，从而求出函数的值域，
（2）当x∈[t，t+1]（其中

1

2

＜t＜1）时，根据函数的单调性，f（x）的最小值，f（x）的最大值，从而求出函数的值域．

解答： 解：（1）易知当x∈[-2，0）时函数f（x）是减函数
∴f（0）＜f（x）≤f（-2）即3＜f（x）≤11
所以函数f（x）的值域为（3，11]；
（2）当x∈[t，t+1]（其中

1

2

＜t＜1）时，
易知f（x）在[t，1]上是减函数，在[1，t+1]上是增函数．
∴f（x）的最小值为f（1）=2
由

1

2

＜t＜1知1-t＜（t+1）-1，
得f（x）的最大值为f（t+1）=t²+2．
所以函数f（x）的值域为[2，t²+2]．

点评：本题考查了二次函数的性质，函数的值域问题，考查函数的单调性，函数的最值问题，是一道基础题．