Question

已知向量

a

=（sin

πx

2

，sin

π

3

），

b

=（cos

πx

2

，cos

π

3

），且向量

a

与向量

b

共线．
（1）求证：sin（

πx

2

-

π

3

）=0；
（2）若记函数f（x）=sin（

πx

2

-

π

3

），求函数f（x）的对称轴方程；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值；
（4）如果已知角0＜A＜B＜π，且A+B+C=π，满足f（

4A

π

）=f（

4B

π

）=

1

2

，求

sinB

sinC

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平行向量与共线向量,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据向量共线的条件和两角差的正弦公式化简即可；
（2）根据正弦函数的对称轴得：

πx

2

-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），再求出x的式子得函数f（x）的对称轴方程；
（3）先由周期公式求出函数的周期，再求出一个周期内的函数值的和，然后判断出式子中共有多少个周期，再求出式子的值；
（4）把条件代入解析式化简后，根据角的范围求出A、B的值，再求出C的值，代入式子根据两角和的正弦公式化简求值．

解答： 证明：（1）∵向量

a

与向量

b

共线，
∴sin

πx

2

cos

π

3

-sin

π

3

cos

πx

2

=0，即sin（

πx

2

-

π

3

）=0；
解：（2）由

πx

2

-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

5

3

+2k(k∈Z)，
∴函数f（x）的对称轴方程是x=

5

3

+2k(k∈Z)；
（3）由f（x）=sin（

πx

2

-

π

3

）得，函数f（x）的周期T=

2π

π 2

=4，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=sin

π

6

+sin

2π

3

+sin

7π

6

+sin(-

π

3

)=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+sin

π

6

=

1

2

；
（4）由f（

4A

π

）=f（

4B

π

）=

1

2

得，sin(2A-

π

3

)=sin(2B-

π

3

)=

1

2

，
∵0＜A＜B＜π，∴-

π

3

＜2A-

π

3

＜

5π

3

，-

π

3

＜2B-

π

3

＜

5π

3

，
则2A-

π

3

=

π

6

，2B-

π

3

=

5π

6

，
解得，A=

π

4

，B=

7π

12

，
由A+B+C=π得，C=

π

6

，
∴

sinB

sinC

=

sin 7π 12

sin π 6

=2sin（

π

4

+

π

3

）=

6 + 2

2

．

点评：本题向量共线的条件和两角差的正弦公式，正弦函数的对称轴和周期，解题的关键是熟练掌握公式和特殊角的三角函数值，考查知识点多，比较综合．