Question

已知直线l经过点A（2，0），倾斜角为

π

3

，曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1．
（1）求直线l的参数方程及曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由直线l经过点A（2，0），倾斜角为

π

3

，即可得出可得直线l的参数方程为

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

（t为参数）；
由曲线C的极坐标方程ρ²cos2θ=1化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得t²-4t-6=0，利用根与系数的关系即可得出直线l被曲线C截得的弦长=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

．

解答： 解：（1）∵直线l经过点A（2，0），倾斜角为

π

3

，∴可得直线l的参数方程为

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

（t为参数）；
由曲线C的极坐标方程ρ²cos2θ=1化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，可得直角坐标方程：x²-y²=1．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得t²-4t-6=0，
∴t₁+t₂=4，t₁t₂=-6．
∴直线l被曲线C截得的弦长=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

10

．

点评：本题考查了直线的参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、利用参数的意义及其根与系数的关系求弦长，考查了计算能力，属于中档题．