Question

13．已知函数f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$sinxcos（π-x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，$\frac{5π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解即可．
（Ⅱ）利用三角函数的变换，求出函数的解析式，然后结合x的范围，求解函数的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$sinxcos（π-x）
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由2k$π-\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得f（x）的单调递增区间为[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，
得到y=2sin（2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象，
x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，故g（x）∈[-1，2]．g（x）在[0，$\frac{5π}{6}$]上的值域为：[-1，2]．

点评 本题考查三角函数的变换，三角函数的化简求值，恒等变换的应用，考查计算能力．