Question

4．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，$AB=\sqrt{2}，AF=1$，M在线段EF上．
（1）若M是线段EF的中点，证明：平面AMD⊥平面BDF；
（2）命题“若M为线段EF的中点，则平面ADM⊥平面BDF”的逆命题是否成立？若成立，给出证明，否则请举出反例．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥AC，从而BD⊥平面MA，设AC∩BD=O，连结FO，推导出MA⊥FO，MA⊥FO，由此能证明平面AMD⊥平面BDF．
（2）设AC∩BD=O，OF∩AM=G，连结OF、DG，过F作FH⊥DG于H，推导出AM⊥平面BDF，从而AM⊥OF，∠AMF=∠AFG=$\frac{π}{4}$，进而MF=AF=1，M为EF的中点，从而命题“若M为线段EF的中点，则平面ADM⊥平面BDF”的逆命题是真命题．

解答 证明：（1）在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD?平面ABCD，
又∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，且交线是AC，
∴BD⊥平面MA，
设AC∩BD=O，连结FO，
∵AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点，
∴四边形AFMO是正方形，∴MA⊥FO，
∵FO∩BD=O，又MA⊥BD，
∵FO∩BD=O，∴MA⊥平面BDF．
∵MA?平面AMD，∴平面AMD⊥平面BDF．
解：（2）命题“若M为线段EF的中点，则平面ADM⊥平面BDF”的逆命题是真命题．
证明如下：
设AC∩BD=O，OF∩AM=G，连结OF、DG，
过F作FH⊥DG于H，
∴平面ADM∩平面BDF=DG，
∵平面ADM⊥平面BDF，FH?平面BDF，
∴FH⊥平面ADM，
∴FH⊥AM，即AM⊥FH，
∵AM⊥BD，BD、FH相交，∴AM⊥平面BDF，∴AM⊥OF，
∴∠AMF=∠AFG，
∵OA=AF=1，∴$∠AFG=\frac{π}{4}$，$∠AMF=\frac{π}{4}$，
∴MF=AF=1，∵正方形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，
∴EF=AC=$\sqrt{2+2}=2$，∴M为EF的中点．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查原命题的逆否命题是否成立的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．