某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息.安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据.如表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．(1)确定x.y的值.并求顾客一次购物的结算时间X的分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率．（注：将频率视为概率）

分析（1）由已知，得25+y+10=55，x+y=35，从而x=15，y=20．收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率，能求出X的分布列和数学期望．
（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过3钟”，X_i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，由于顾客的结算相互独立，能求出该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率．

解答解：（1）由已知，得25+y+10=55，x+y=35，
所以x=15，y=20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，
所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，
将频率视为概率得$p（X=1）=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}，p（X=1.5）=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}，p（X=2）=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$，
$p（X=2.5）=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}，p（X=3）=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$．
故X的分布为：

X	1	1.5	2	2.5	3
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

X的数学期望为$E（X）=1×\frac{3}{20}+1.5×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{4}+2.5×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{10}=1.9$．
（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过3钟”，
X_i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，
则由于顾客的结算相互独立得
P（A）=P（X₁=1）×P（X₂=1）+P（X₁=1）×P（X₂=1.5）+P（X₁=1.5）×P（X₂=1）+P（X₁=1）×P（X₂=2）+P（X₁=2）×P（X₂=1）+P（X₁=1.5）×P（X₂=1.5）
=$\frac{3}{20}×\frac{3}{20}+\frac{3}{20}×\frac{3}{10}+\frac{3}{10}×\frac{3}{20}+\frac{1}{4}×\frac{3}{20}+\frac{3}{20}×\frac{1}{4}+\frac{3}{10}×\frac{3}{10}=\frac{111}{400}$．
故该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率为$\frac{111}{400}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，涉及到平均数、方差、离散型随机变量的分布列及数学期望等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．