Question

18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为60°，求PE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面BFED⊥平面ABCD，只需证明AD⊥平面BFED与平面ABCD的交点BD垂直即可．
（Ⅱ）利用空间直角坐标系，向量法求解平面PAB与平面ADE所成锐二面角为60°，建立关系可得PE的长．

解答 解：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，
∴AB=2，DB²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3．
∴AB²=AD²+DB²，
∴AD⊥DB，
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=DB，
∴AD⊥平面BFED．
（Ⅱ）AD⊥平面BFED，AD⊥DB．
以D为原点，DA，DB，DE为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（1，0，0，），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，t，1）其中（$0＜t≤\sqrt{3}$）
$\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BP}=（0，t-\sqrt{3}，1）$，设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{（t-\sqrt{3}）y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，可得法向量$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}-t）$
∵BD⊥平面ADE，可得平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$．
平面PAB与平面ADE所成锐二面角为60°
可得：$\frac{1}{\sqrt{4+（\sqrt{3}-t）^{2}}}=\frac{1}{2}$
解得：t=$\sqrt{3}$．
故得平面PAB与平面ADE所成锐二面角为60°，PE的长为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、面面垂直转化为线面垂直问题．以及空间直角坐标系向量法的运用和计算能力．属于中档题．