Question

5．如图，平行四边形PABC中，∠PAC=∠ABC=90°，PA=AB=2$\sqrt{3}$，AC=4，现把△PAC沿AC折起，使PA与平面ABC成60°角，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧）．

（Ⅰ）求证：OB∥平面PAC；
（Ⅱ）试问：线段PA上是否在存在一点M，使得二面角M-BC-A的余弦值为$\frac{5\sqrt{37}}{37}$？若存在，指出M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）连接AO，证明CA⊥平面PAO，说明∠PAO是PA与平面ABC的角，通过证明OB∥AC，推出OB∥平面PAC．
（II）以O点为空间中坐标原点，OB、OA、OP所在轴为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABC的一个法向量，设$M（{x_0}，{y_0}，{z_0}），\overrightarrow{PM}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}-3）$，求出平面BCM的法向量，通过$cos＜\overrightarrow{m，}\overrightarrow n＞=\frac{5}{{\sqrt{37}}}$，解得$λ=\frac{1}{3}（λ=2舍去）$，说明存在线段PA上一点M，使得二面角M-BC-A的余弦值为$\frac{{5\sqrt{37}}}{37}$．

解答 解：（I）连接AO，∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥CA．∵CA⊥PA，PA∩PO=P，
∴CA⊥平面PAO，CA⊥AO．∵∠PAO是PA与平面ABC的角，∴∠PAO=60°．
∵PA=2$\sqrt{3}$，∴OA=$\sqrt{3}$．
在直角△ABC中，∠BAC=30°，在△OAB中，∠OAB=90°-30^°=60^°，
∴OB⊥OA，从而有OB∥AC，∵OB?平面PAC，AC?平面PAC，
∴OB∥平面PAC

（II）由（I）得：以O点为空间中坐标原点，OB、OA、OP所在轴为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，可得$A（0，\sqrt{3}，0），B（3，0，0），C（4，\sqrt{3}，0），P（0，0，3）$．
取平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，0，1）$，
设$M（{x_0}，{y_0}，{z_0}），\overrightarrow{PM}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}-3）$，$\overrightarrow{PA}=（0，\sqrt{3}，-3），\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PA}（0≤λ≤1）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=0}\\{{y_0}=\sqrt{3}λ}\\{{z_0}=3-3λ}\end{array}}\right.$，$M（0，\sqrt{3}λ，3-3λ），\overrightarrow{BM}=（-3，\sqrt{3}λ，3-3λ）$，$\overrightarrow{BC}=（1，\sqrt{3}，0）$，
设平面BCM的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，当λ=1显然不符合题意，
所以解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}y}\\{z=\frac{{\sqrt{3}（3+λ）}}{3（λ-1）}y}\end{array}}\right.$，取y=1，即$\overrightarrow n=（-\sqrt{3}，1，\frac{{\sqrt{3}（3+λ）}}{3（λ-1）}）$，$cos＜\overrightarrow{m，}\overrightarrow n＞=\frac{5}{{\sqrt{37}}}$，
解得$λ=\frac{1}{3}（λ=2舍去）$，所以M点是线段PA的三等分点，且靠近P点．
∴存在线段PA上一点M，使得二面角M-BC-A的余弦值为$\frac{{5\sqrt{37}}}{37}$．

点评 本题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力．